几何为万物赋能（一）

建筑设计中的数学几何原理--大兴国际机场

北京的大兴国际机场，被称为世界七大奇迹之首，耗资800亿。它的造型非常地瑰丽，气势非常宏伟，像一个凤凰一样。这个建筑是国际著名建筑师--女魔头扎哈·哈迪德设计的。哈迪德本身是学数学出身，她创立了一个新的学派。这个学派最大的特点就是，用黎曼几何，来取代欧式几何。

欧式几何，就是说地是平的，墙是直的，窗户都是正方形的，看起来非常地中规中矩。而哈迪德，把一切变成了曲面，在曲面上设计非常复杂的曲线，她由此也被称为了--曲线之王。

我们通过哈迪德的建筑设计，可以体会到很深的一些数学原理。如果我们从空中鸟瞰大兴机场的棚顶结构，有一个非常漂亮的六芒星的结构。建筑上有很多非常光滑的曲线，实际上看它内部的钢架机构，里面有两族彼此垂直的曲线结构。这个形态非常优美，而它在几何中是对应一个非常深刻的数学概念，叫做叶状结构。为什么要设计成这种结构呢？这种叶状结构，在曲面上是无处不在的。

 建筑设计-曲面叶状结构▼

这边我们画一个非常常见的一个兔子的模型，在上面有两组叶状结构，一组是蓝色的，这个一组是红色的，处处彼此垂直，把这个曲面非常均匀地分成了四边形网格。在建筑设计中，每个四边形网格，可以对应一块玻璃，或者一个钢架结构。

这个结构在自然界中，是无处不在的，它也是异常优美的。扎哈，她不见得理解这套数学理论，但是通过单纯的审美，她把这个这套数学结构，用到她的建设设计之中。我们回头再来看大兴机场内部的钢架结构，从本质上讲，它得到了两族调和的叶状结构，结构中间存在一个稳定的奇异点。

所以大兴机场，其实非常完美地体现了，艺术和数学的结合。

三维扫描技术

在过去的10年里，计算机科学领域最大的一个突破点，就在三维技术上。人们可以非常容易地得到三维的数据结构。

我们用三维扫描，可以得到一个人脸的模型。这里用结构光的方法进行扫描，扫描速度非常快，分辨率也非常高。我们可以看到他动态的表情变化，每一帧，有差不多50万个采样点。这样可以得到非常迅速的、大规模的三维数据的采集。

通过扫描撒贝宁先生的脸，得到了非常完美的纹理和几何 ▼

从今天来看，三维扫描的技术，已经非常成熟。我们瞬间可以得到大量的三维数据，但是现在整个瓶颈变成了软件。我们如何来处理这些非常难以处理的三维的数据，现在是非常具有挑战性的问题。

应用计算机传统的，线性代数，我们只是能处理平直空间的问题。对于曲面的话无能为力，因此我们必须要引入现代的微分几何和共形几何。

文艺作品中的数学几何原理

这些概念比较深刻，我们先用艺术家的观点来解释。

有一个特别知名的荷兰画家叫埃舍尔。他一辈子创作了大量的将数学和艺术结合的画作。这幅图画就是他的一个非常有名的画作，叫做《画廊》。

似幻还真，画中的虚拟世界和现实世界融为一体▼

左侧有一个男青年，他站在画廊之中，看墙上的一幅画。这幅画画了一条河，河里有一艘船，河对岸是一个画廊。这个画廊中也有一个男青年，在看墙上的一幅画，那幅画上是什么呢？有一条河 河对岸有个画廊。所以它实际是一个无穷嵌套的结构。

左侧，这个画廊是真实世界的画廊，而图上的画廊是虚假的画廊。在右侧，真实的世界，和虚拟的世界融为一体。从虚假世界融入到真实世界。

这幅画在历史上非常有名，激发了很多后来的艺术工作。比如说大家熟知的《盗梦空间》还有《骇客帝国》，本质思想就是把虚拟和现实融为一体。

那么这幅画作的数学原理究竟是什么？中间这个奇异点内部究竟发生了什么？

其实，变换虽然非常剧烈，但是局部的形状，没有发生变化，所以这种变换有一个特殊的名字，叫做共形变换。共形的意思就是局部保持形状。

（平面共形变换：局部保持形状，整体剧烈变化）

（曲面间的共形变换：弯曲展平直，三维变二维，降维攻击，局部保形）

右边的图由左边照片处理而得，图片整体发生扭曲，但局部物品的形状并未发生形变（局部保持形状，整体剧烈变化）▼

共形变换与一般变换的比较▼

刘慈欣的《三体》有一个非常厉害的文明，叫歌者文明。后来歌者文明决定毁灭太阳系，毁灭的方式是发来一个二向箔。二向箔飘到太阳系之后，把整个太阳系三维的空间变成二维。整个流入到二向箔里面，这就是所谓的降维攻击。降维攻击的意思就是，把高维变到低维。

这是米开朗基罗的一个大卫头，我们将这个大卫头三维的曲面平展到二维的平面上，这样就把三维变成了二维，把弯曲的空间变成了平直的空间。

我们看它所有的细节，大卫头的眼睛和耳朵映到平面保持没有发生改变，非常复杂的头发映过来也没有发生改变。刘慈欣作为一个作家，他用非常瑰丽的想象，想象出降维攻击实际上在几何上的确存在。

通过保角变换我们的确可以实现降维，把三维变成二维。极大地简化了计算问题。在微分几何和共形几何中，有一个非常深刻的定理，我个人觉得也是整个几何界的具有奠基性的一个基本定理叫大一统定理。（大一统定理：克莱因、庞家莱单值化：任意度量曲面都可以共形地映射到球面、欧式平面或者双曲曲面上。）

根据这个定理，所有的曲面都可以在保角的变换下变成三种标准几何中的一种或者变成球面或者变成欧式空间或者变成双曲空间。

大一统定理的含义非常深远，它能说明从你当下所处的地方一直到宇宙的边缘，所有三维实体的表面都是曲面。所有的曲面无论多么复杂，无论怎么千变万化，最后都会归结为三种中的一种，万宗归一。

END

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